"Грамота" говорит, что "беби". Смущает, что в СМИ чаще используется форма "бэби-бокс".
Сомнение возникло у коллеги.
Его аргумент: слово "бэби-бокс" заимствовано целиком, и его в словаре нет, поэтому нужно ориентироваться на практику СМИ, которые пишут "бэби-бокс".